Būlio algebra. 2 dalis. Pagrindiniai įstatymai ir funkcijos

Tęsinys pasakojimo apie Boole algebrą, konvencijas, taisykles, operacijas. Perėjimas prie kontaktinių grandinių pagrindų.

Į pirmasis straipsnis George'as Bulis buvo apibūdintas kaip logikos algebros kūrėjas. Antrame straipsnyje bus aprašytos pagrindinės Boole algebra operacijos ir metodai Būlio išraiškoms supaprastinti. Taigi, Boole algebra teiginius naudoja kaip argumentus, o ne jų prasmę, o teiginio tiesą ar melagingumą.

Išraiškų rašymo Būlio algebra forma.

Jei teiginys yra teisingas, tada jis rašomas taip: A = 1, jei jis klaidingas, tada A = 0 (galų gale netiesa, kad bulvė yra vaisius). Bet kokiam teiginiui A yra tiesa (A = 1) arba klaidinga (A = 0). Čia negali būti vidurio. Apie tai jau kalbėjome.

Jei sujungsite du paprastus teiginius su sąjunga Ir, gausite sudėtingą teiginį, kuris vadinamas loginiu produktu. Paimkime du paprastus posakius: „Trys yra daugiau nei du“, mes nurodysime raide A, „Trys mažiau nei penki“ - raide B.

Taigi sudėtingas teiginys „Trys yra daugiau nei du ir mažiau nei penki“ yra logiškas (šiuo atveju didžioji raidė „And“ sako, kad tai yra „IR“ loginė operacija, taip pat vėliau tekste „ARBA“ ir „NE“). ir B. Jis žymimas taip: A ^ B arba A * B.

Loginis daugyba (operacija „IR“).

Pradinėje algebroje A * A = A2. Bet Buhlo algebroje A * A = A2 = A, A * A = A, nes daugybos ženklas (*) dabar reiškia ... Ir ... ta prasme, kaip Ir ... Ir. Visa mūsų patirtis patvirtina, kad A&A yra tas pats, kas tik A. Negalima su tuo nesutikti. Pareiškimo tiesa nesikeičia, jei jį kelis kartus pakartoja veiksnys.

Dviejų teiginių sandauga laikoma teisinga (lygi 1), tada ir tik tuo atveju, jei abu veiksniai yra teisingi, ir klaidinga (lygi 0), jei bent vienas iš faktorių yra klaidingas. Sutikite, kad šios taisyklės neprieštarauja sveikam protui, be to, jos visiškai atitinka pradinės algebros taisykles:

1*1 = 1, 1*0 = 0 = 0*1 = 0, 0*0 = 0.

Pirmoji lygybė yra tokia: jei ir A, ir B yra teisingi, tada sandauga A * B yra tiesa. Buhlo algebroje daugybos ženklas (*) pakeičia I sąjungą.

Loginius produktus gali sudaryti ne du, o daugiau teiginių - veiksnių. Ir šiuo atveju produktas yra tikras tik tada, kai tuo pat metu visi teiginiai-veiksniai yra teisingi.

Loginis papildymas (ARBA operacija)

Jei du teiginius jungia sąjunga ARBA. kad suformuotas sudėtinis sakinys vadinamas logine suma.

Apsvarstykite logiškos sumos pavyzdį. Sako A: "Šiandien aš eisiu į kiną".

B teiginys: „Šiandien aš eisiu į diskoteką“. Pridedame abu teiginius ir gauname: „Šiandien aš eisiu į filmus ARBA į diskoteką“.

Šis sudėtingas teiginys žymimas taip: A + B = C arba (A V B) = C.

C simboliu pažymėjome sudėtingą loginės sumos teiginį.

Nagrinėjamame pavyzdyje sąjunga ARBA negali būti naudojama išskirtine prasme. Iš tiesų, tą pačią dieną jūs galite patekti į kiną ir diskoteką. Ir čia yra posakis:

„Sodininkų bendrijos pirmininkas bus Petrovas arba Ivanovas“, - nėra logiška suma, nes pirmininkas bus tik vienas asmuo, o kitas - paprastas sodininkas mėgėjas.

V ženklas loginei sumai pasirenkamas todėl, kad tai yra pradinė lotyniško žodžio „vel“ raidė, reiškianti „arba“, priešingai nei lotyniškas žodis „aut>“, reiškiantis „ir“. Dabar visiems turėtų būti aišku, kodėl loginis produktas žymimas ženklu ^.

Pradinėje algebroje galioja taisyklė A + A = 2A. Ši taisyklė yra tiesa, nesvarbu, kokį skaičių žymi raidė A. Būlio algebroje ją atitinka taisyklė A + A = A. Visa mūsų gyvenimo patirtis sako, kad pasakyti A arba A arba abu A yra tik dar vienas ir ilgesnis būdas pasakyti tik A.

Kaip ir bet kuris sudėtinis teiginys, dviejų teiginių A ir B suma gali būti teisinga arba klaidinga. Suma laikoma tikra, tai yra lygi vienybei, jei bent viena iš sąlygų yra teisinga:

A + B = 1, jei ARBA = 1 ARBA B = 1, kuris atitinka įprastą aritmetiką:

1+0 = 0+1 = 1.

Jei abu apibendrinti teiginiai yra teisingi, tada suma taip pat laikoma teisinga, todėl Boole algebroje turime: (1) + (1) = 1.

Skliausteliukai čia nustatomi siekiant pabrėžti sąlyginę reikšmę, šio papildymo prasmę, o ne aritmetiką.

Dviejų teiginių suma laikoma klaidinga ir lygi nuliui, jei, bet tik tada, jei abu terminai yra klaidingi. Iš čia:

0 + 0=0.

Taigi, dviejų teiginių A + B suma laikoma teisinga, jei tiesa, ARBA, ARBA B, ARBA abu terminai kartu. Taigi žodis OR žymimas +.

Atsimenant, kad teiginiai A ir B gali būti tikri ar melagingi ir todėl turi tiesos 1 arba 0 matą, nagrinėjamų IR ir ARBA operacijų rezultatai gali būti apibendrinti 1 ir 2 lentelėse.

Trečioji operacija, kurią plačiai naudoja Buhlo algebra, yra neigimo operacija - NE. Primename, kad pradinėje algebroje naudojamos operacijos PRIDĖTI, D Atimti, Padauginti iš, Padalinti iš ir kai kurios kitos.

Kiekviename teiginyje A yra jo neigimas NE A, kurį žymėsime simboliu / A. Tuo neturėtų kilti abejonių.

Pateikiame pavyzdžių: „Mes eisime į mišką“ A, „Mes neisime į mišką“ / A.

Jei teiginys A yra teisingas, ty A = 1, tada jo neigimas / A turi būti klaidingas / A = 0. Ir atvirkščiai, jei kuris nors teiginys yra klaidingas, tada jo neigimas yra teisingas. Pvz .: „arklys nevalgo šieno“ / A = 0, „arklys nevalgo šieno“ (A = 1). Tai galima išreikšti 3 lentelėje.

Nustatant neigimo veiksmo prasmę ir darant prielaidą, kad abu teiginiai A ir / A visada yra tikri, seka dvi naujos Boole algebros formulės:

A + (/ A) = 1 ir A * (/ A) = 0.

Taip pat yra ir kitų formulių, kurios supaprastina loginį teiginių apdorojimą. Pavyzdžiui, 1 + A = 1, nes pagal sudėjimo apibrėžimą tuo atveju, kai vienas terminas yra lygus vienybei, suma visada lygi vienybei. Gautas rezultatas nepriklauso nuo to, ar A = 0, ar A = 1.

Kiekviena iš trijų mūsų nagrinėtų loginių operacijų (IR, ARBA, NE) turi tam tikras savybes, artimas elementariosios algebros taisyklėms. Jei visos jos suformuluotos, tada gauname 25 Būlio algebros taisykles. Jų visiškai pakanka, kad būtų galima išspręsti beveik bet kokią loginę problemą. Neturint šių taisyklių, tampa gana sunku išspręsti logines problemas dėl akivaizdaus jų sudėtingumo. Bandymas rasti teisingą atsakymą nenaudojant taisyklių reiškia pakeisti juos išradingumu ir bendrais argumentais. Taisyklės labai palengvina šį darbą ir taupo laiką.

Straipsnyje neįmanoma apsvarstyti visų šių 25 taisyklių, tačiau norintys visada gali jas rasti atitinkamoje literatūroje.

Kaip jau buvo minėta pirmajame 1938 m. Straipsnyje, jaunasis amerikiečių mokslininkas Claude'as Shannonas savo straipsnyje „Relės ir perjungimo grandinių simbolinė analizė“ pirmą kartą naudoja Boole algebrą relės technologijos problemoms spręsti. Šenono atradimas suprato, kad relių aparatų ir elektroninių kompiuterių projektavimo metodas iš tikrųjų yra matematinės logikos šaka.

Tai dažnai atsitinka. Daugelį metų mokslininkas dirbo prie problemos, kuri tėvynainiams atrodo visiškai nereikalinga - tiesiog smagu. Tačiau praeina dešimtmečiai ir kartais šimtmečiai, ir teorija, kurios niekam nereikia, ne tik įgyja teisę egzistuoti, bet be jos tolimesnė pažanga tampa neįsivaizduojama.

Kas padėjo Šenonui antrą kartą „atrasti“ Būlio algebrą? Byla? Nieko tokio.

Meilė estafetėms, pastatytoms ant įprastų jungiklių ir relių, padėjo jaunam mokslininkui pamirštą teoriją susieti su automatinių telefonų mainų užduotimis, kuriomis jis tuo metu dirbo. Vėliau Šanonas tą pačią „taip arba ne“ idėją įvedė į diskrečius pranešimus ir padėjo pagrindą visam kibernetikos skyriui - informacijos teorijai.

Buhlo algebra buvo labai tinkama relių grandinių analizei ir sintezei. To pakako priimti kaip teisingą teiginį: „Grandinėje yra signalas“, o kaip klaidingą - „grandinėje nėra signalo“, nes atsirado nauja algebra - signalo algebra, relinės grandinės algebra.

Naujoji algebra galioja tik relių ir perjungimo grandinėms. Galų gale, tik tokiose schemose yra įvykdytos sąlygos „yra signalas“ ir „nėra signalo“. Kai signalas keičiasi nuolat, įgaunant savavališkai daug tarpinių sąlygų (toks signalas vadinamas analoginiu), relės algebra netaikoma. Tai visada reikia atsiminti. Tačiau dauguma elektroninių kompiuterių ir kibernetinių mašinų naudojasi diskrečiu signalo apdorojimo principu, kuris grindžiamas elementais „taip - ne“.

Išraišką „Kontaktas uždarytas“ Shannon pripažino tikra (1), o „Kontaktas atviras“ - klaidinga (0). Likusią „algebros“ dalį, įskaitant operacijas AND, OR and NOT ir 25 taisykles, Shannon pasiskolino iš Boole.

Relės grandinės algebra pasirodė paprastesnė nei loginė algebra, nes joje kalbama tik apie „taip - ne“ tipo elementus. Be to, naujoji algebra yra labiau vizuali.

Šios algebros elementai yra kontaktai, kuriuos žymėsime raidėmis A, B, C ... Kontaktas uždarytas - A, kontaktas atidarytas - / A (raidė su brūkšneliu).

Pastaba, kaip matote, visiškai paimta iš Boole algebra. Atviras kontaktas yra uždaro kontakto neigimas. Tas pats kontaktas negali būti nei uždaras, nei atviras.

Sutarkime, jei bet kurioje grandinėje du kontaktai žymimi ta pačia raide, tai reiškia, kad jie visada turi tas pačias reikšmes.

Bet kuriuo momentu jie abu yra atidaryti vienu metu, arba abu yra uždaryti. Lengviausias būdas įsivaizduoti juos mechaniškai sujungtus taip, kad abu vienu metu atsidarytų ar užsidarytų.

Jei kai kuriose grandinėse kontaktas yra kito kontakto neigimas, tada jų reikšmės visada priešingos. Pavyzdžiui, kontaktai C ir / C niekada negali būti vienu metu atidaromi arba vienu metu uždaromi. Ir diagramoje jie gali būti pavaizduoti mechaniškai sujungti: jei vienas iš jų atsidaro, tada kitas užsidaro.

Mes pradedame savo pažintį su relės algebra analizuodami paprasčiausias grandines, atitinkančias AND, OR ir NOT operacijas.

Dviejų kontaktų (veikimas IR) sandauga yra grandinė, gaunama jų jungimo metu: ji uždaroma (lygi 1) tik tada, kai abu kontaktai yra uždaryti (lygus 1).

Dviejų kontaktų (ARBA veikimo) suma bus grandinė, suformuota, kai jie bus sujungti lygiagrečiai: ji yra uždaryta (lygi 1), kai bent vienas iš grandinę sudarančių kontaktų yra uždarytas (lygus 1).

Šio kontakto priešingybė (operacija NE) yra kontaktas, lygus 0 (atidarytas), jei šis kontaktas yra 1 (uždarytas), ir atvirkščiai.

Kaip ir Boole algebroje, jei kontaktai žymimi raidėmis A ir B, tada dviejų kontaktų sandaugą žymėsime A * B, sumą - A + B, o kontaktą priešais A - / A. Aukščiau paaiškinta 1, 2 ir 3 paveiksluose.

Lentelių, atitinkančių operacijas AND, OR ir NOT, galiojimas. dabar niekas neturėtų abejoti.

Paimkime prie dviejų pavyzdžių: 1 * 0 = 0 ir 1 + 0 = 1.

Iš paveikslo matyti, kad visam laikui uždarytas kontaktas, sujungtas nuosekliai su nuolat atviru kontaktu, yra lygiavertis nuolat atviram kontaktui (1 * 0 = 0) Nuolat uždarytas kontaktas, sujungtas lygiagrečiai su nuolat atvirais kontaktais, yra lygiavertis visam laikui uždarytam kontaktui.

Susipažinę su kontaktinių grandinių aritmetika, jūs galite apibūdinti bet kurią relinę grandinę formule, naudodami priimtas konvencijas. Kibernetikoje tokios formulės vadinamos struktūrinėmis.

Jei bet kurios relinės grandinės struktūrinė formulė yra 1, tada pro ją gali praeiti signalas - grandinė uždaryta. Jei grandinės struktūrinė formulė yra 0, signalas per ją nepraeis - grandinė nutrūks.Išvada: dvi relių grandinės yra lygiavertės viena kitai, kai jų struktūrinės formulės yra lygios.

Straipsnio tęsinyje nagrinėsime kontaktinių grandinių pavyzdžius, tipines kontaktines grandines ir jų atitikmenis, taip pat sudarysime schemas pagal struktūrines formules. Mes taip pat atsižvelgiame į pagrindines logines grandines, atliekančias Boole algebra funkcijas.

Straipsnio tęsinys: Būlio algebra. 3 dalis. Kontaktinės schemos

Borisas Aladyshkinas